总结一下求极限的技巧

等价无穷小替换

1. x~sin(x)~tan(x)~arcsin(x)~arctan(x)~ln(1+x)~e^x-1

2. $(1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x$

3. $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$

4. $x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3$

   $x -\arcsin x \sim -\frac{1}{6}x^3$

5. $\tan x-x \sim \frac{1}{3}x^3$

   $\arctan x-x \sim -\frac{1}{3}x^3$

6. $\tan x-\sin x \sim \frac{1}{2}x^3$

   $\arctan x-\arcsin x \sim -\frac{1}{2}x^3$

7. $x-\ln(1+x)\sim \frac{1}{2}x^2$

记住：相加的极限=极限的相加，即：

两个函数相加(减、乘、除)的极限=两个函数各自的极限（如果都存在的话）相加（减、乘、除）【如下例题第3题】，如果某个函数的极限不存在，则不成立，因为：

极限存在 + 极限不存在 = 极限不存在

对于 $[f(x)+g(x)]/h(x)$，如果发现f(x)可以进行等价替换，只将f(x)替换是错误的，如下例题第3题

洛必达+等价替换

能用泰勒公式的，都可以用洛必达+等价替换解决，我觉得应该是泰勒公式本身也是不断求导后得到的。（个人经验）

对于$1^∞$ 型

$\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=\lim_{x\to0}e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}=e$

定积分型

通常是数列极限，能写成 $\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}f(\frac{i}n{})$ 形式的表达式，例如下面例题的22、23题

例题

源于[汤]-1800题（2022）